如图,已知矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点E为CD边上的一个动点,连结AE、BE,以AE为直径作圆,交AB于点F,过点F作FH⊥BE于H,直线FH交⊙O于点G.
(1)求证:⊙O必经过点D;
(2)若点E运动到CD的中点,试证明:此时FH为⊙O的切线;
(3)当点E运动到某处时,AE∥FH,求此时GF的长.
(1)证明:∵矩形ABCD中,∠ADC=90°,且O为AE中点,
∴OD=AE,
∴点D在⊙O上.
(2)证明:如图,连结OF、EF.
易证AFED为矩形,
∴AF=DE.
∵E为CD的中点,
∴F为AB的中点.
∴OF为△ABE的中位线,
∴OF∥EB.
∵FH⊥EB,∴OF⊥FH.
∴FH为⊙O的切线.
(3)解:作OM⊥FG,连结OF.
∵AE∥FH,∴∠AEB=90°.
易证△ADE∽△ECB,
由相似得:DE=2或8.
①当DE=2时,
如图,AF=2,FB=8,EB=4,AE=2.
由△BFH∽△BAE得,HB=,∴OM=EH=.
∴FG=2FM=.
②当DE=8时,
如图,同上解法,可得OG=AE=2.
OM=EH=.
∴FG=2GM=.
解析
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