Question

【题目】问题发现

（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　 　；

（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、点N分别在ED、BC上，求CM+MN的最小值；

（3）如图③．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是EC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若在在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)见解析.

【解析】

（1）根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；

（2）先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF，进而求出CE，最后用三角函数即可求出CM+MN的最小值；

（3）先确定出EG⊥AC时，四边形AGCD的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出BF．

解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，根据勾股定理得，AB＝10，

∵AC×BC＝AB×CD，

∴CD＝＝，

故答案为：；

（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，根据勾股定理得，BD＝10，

∵CE⊥BC，

∴BD×CF＝BC×CD，

∴CF＝＝，

由对称得，CE＝2CF＝，

在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，

∴sin∠BCF＝，

在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝＝；

即：CM+MN的最小值为：；

（3）如图3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝10，

∵AB＝6，AE＝4，

∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，

设点G到AC的距离为h，

∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×8×6+×10×h＝5h+24，

∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，

∵点G是以点E为圆心，BE＝2为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，

∴EG⊥AC时，h最小，

由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，

延长EG交AC于H，则EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，

在Rt△AEH中，AE＝4，sin∠BAC＝＝，

∴EH＝AE＝，

∴h＝EH﹣EG＝﹣2＝，

∴S四边形AGCD最小＝5h+24＝5×+24＝30，

过点F作FM⊥AC于M，

∵EH⊥FG，EH⊥AC，

∴四边形FGHM是矩形，

∴FM＝GH＝

∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，

∴△CMF∽△CBA，

∴＝，

∴＝，

∴CF＝2，

∴BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6．