【题目】如图,己知抛物线y=k(x+1)(x﹣3k)(且k>0)与x轴分别交于A、B两点,A点在B点左边,与Y轴交于C点,连接BC,过A点作AE∥CB交抛物线于E点,0为坐标原点.
(1)用k表示点C的坐标(0, );
(2)若k=1,连接BE,
①求出点E的坐标;
②在x轴上找点P,使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似,求出P点坐标;
(3)若在直线AE上存在唯一的一点Q,连接OQ、BQ,使OQ⊥BQ,求k的值.
【答案】(1)﹣3k2;(2)①(4,5);②(,0)或(﹣,0);(3)k=.
【解析】
试题分析:(1)只需把x=0代入抛物线的解析式,就可求出点C的坐标;
(2)①只需先求出直线AE的解析式,再求出直线AE与抛物线的交点坐标,就可解决问题;②由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC,然后分△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况进行讨论,运用相似三角形的性质即可解决问题;
(3)由OQ⊥BQ可知点Q在以OB为直径的圆上,由于直线AE上存在唯一的一点Q,使得OQ⊥BQ,因此以OB为直径的圆与直线AE相切,切点为Q,圆心记为O′,连接O′Q,如图2,易证△AQO′∽△BOC,然后只需用k的代数式表示OC、QO′、AO′、BC,再运用相似三角形的性质就可求出k的值.
解:(1)当x=0时,y=k(0+1)(0﹣3k)=﹣3k2,
∴点C的坐标为(0,﹣3k2).
故答案为:﹣3k2;
(2)①∵k=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣3).
当x=0时,y=﹣3,则点C(0,﹣3),OC=3;
当y=0时,x1=﹣1,x2=3,
则点A(﹣1,0),点B(3,0),OA=1,OB=3.
∵AE∥CB,∴△AOD∽△BOC,
∴=,
∴OD=1,即D(0,1).
设直线AE的解析式为y=kx+b,
则,
解得:,
∴直线AE的解析式为y=x+1,
联立,
解得:或,
∴点E的坐标为(4,5);
②过点E作EH⊥x轴于H,如图1,
则OH=4,BH=5,AH=5,AE==5.
∵AE∥BC,∴∠EAB=∠ABC.
Ⅰ.若△PBC∽△BAE,则=.
∵AB=4,BC==3,AE=5,
∴=,
∴BP=,
∴点P的坐标为(3﹣,0)即(,0);
Ⅱ.若△PBC∽△EAB,则=,
∴=,
∴BP=,
∴点P的坐标为(3﹣,0)即(﹣,0);
综上所述:满足条件的P点坐标为(,0)或(﹣,0);
(3)∵直线AE上存在唯一的一点Q,使得OQ⊥BQ,
∴以OB为直径的圆与直线AE相切于点Q,圆心记为O′,连接O′Q,如图2,
则有O′Q⊥AE,O′Q=OO′=OB.
当x=0时,y=k(0+1)(0﹣3k)=﹣3k2,则点C(0,﹣3k2),
当y=0时,k(x+1)(x﹣3k)=0,解得x1=﹣1,x2=3k,
则点A(﹣1,0),B(3k,0),
∴OB=3k,OA=1,OC=3k2,
∴O′Q=OO′=,O′A=+1,BC==3k.
∵∠QAO′=∠OBC,∠AQO′=∠BOC=90°,
∴△AQO′∽△BOC,
∴=,
∴QO′BC=AO′OC,
∴3k=(+1)3k2,
解得:k=.
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【题目】如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 (只填写序号).
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【题目】两条平行线被第三条直线所截,则( )
A. 一对内错角的平分线互相平行 B. 一对同旁内角的平分线互相平行
C. 一对对顶角的平分线互相平行 D. 一对邻补角的平分线互相平行
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc>0;②a+b+c>0;③4a+2b+c<0;④b>a+c;⑤b2﹣4ac>0.
其中正确的结论有 .(只填序号)
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【题目】下列长度的三根小术棒能构成三角形的是( )
A. 2cm,3cm,5cm B. 7cm,3cm,3cm C. 3cm,4cm,8cm D. 4cm,4cm,6cm
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【题目】用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可化为( )
A. (x+4)2=9 B. (x﹣4)2=9 C. (x+8)2=23 D. (x﹣8)2=9
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【题目】若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断
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【题目】下列关于单项式3πxy2的说法中,正确的是( )
A. 系数是-3,次数是4 B. 系数是3π,次数是3
C. 系数是3,次数是3 D. 系数是3π,次数是2
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【题目】如图,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于 (结果保留根号).
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