Question

如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2

2

和

2

，对角线BD、FH都在直线l上．O₁、O₂分别是正方形的中心，线段O₁O₂的长叫做两个正方形的中心距．当中心O₂在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．

（1）当中心O₂在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O₁O₂等于多少？
（2）随着中心O₂在直线l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写计算过程）．

Answer 1

分析：（1）先根据正方形的性质求出正方形的对角线分别为BD=4，FH=2，所以可求得两个正方形只有一个公共点时，中心距O₁O₂=O₁D+O₂F=2+1=3；
（2）根据它们随着中心O₂在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的中心距之间的关系可依次求解．

解答：解：（1）O₁D=2

2

×

2

÷2=2；O₂F=

2

×

2

÷2=1．
当O₂在正方形ABCD的外部时，O₁O₂=2+1=3．

（2）公共点的个数还可以有两个，无数个，0个；
当公共点的个数为两个时，1＜O₁O₂＜3；
当公共点的个数为无数个时，O₁O₂=1；
当公共点的个数为0个时，O₁O₂＞3或0≤O₁O₂＜1．

点评：主要考查了正方形的性质和平移的性质．要掌握正方形中一些特殊的性质：四边相等，四角相等，对角线相等且互相垂直平分．