Question

小明在探究问题“正方形ABCD内一点E到A、B、C三点的距离之和的最小值”时，由于EA、EB、EC比较分散，不便解决．于是将△ABE绕点B逆时针旋转60°得△AnBEn，连接EE′．
（1）小明得到的△EBE'是什么三角形？（直接写出结果，不必说出理由）
（2）图1中连接A′C，试比较AE+BE+CE与A′C的大小．
（3）当点E在正方形ABCD内移动时，猜测AE+BE+CE有无最小值？如有利用图2画出符合题意的图示并说出理由；如果不存在最小值，简述理由．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质可以得到：BE=BE′，∠EBE′=60°，则△BEE′是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质可以证得：AE+BE+CE＞A′C，进而即可证得；
（3）根据两点之间线段最短，即可得到：ABE绕点B逆时针旋转60°得△AnBEn，当E落在AnC上（显然此时En也落在AnC上）时，AnC就是EA+EB+EC的最小值．

解答：解：（1）△BEE′是等边三角形，（2分）
（2）AE+BE+CE≥A′C．（3分）
理由：在△AFC和△BEC中，
∵△BEE′是等边三角形，
∴EE′=BE，
由旋转可知：AE=A′E′，
∴AE+BE+CE=A′E′+EE′+CE≥A′C；（5分）

（3）AE+BE+CE存在最小值．如图△ABE绕点B逆时针旋转60°得△AnBEn，当E落在AnC上（显然此时En也落在AnC上）时，AnC就是EA+EB+EC的最小值．（两点之间线段最短）．（9分）

点评：本题主要考查了旋转的性质，在旋转的过程中注意：旋转前后对应角相等，两个三角形是否成对称轴应看三角形是否全等，对应边相对于对称轴的位置是否相等．