Question

已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=

 

，点Q到AC的距离是

 

；
（2）在运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当t=2时，CP=2，则AP=1，根据勾股定理求得BC，再由三角形相似得出点Q到AC的距离；
（2）作QF⊥AC于点F，则△AQF∽△ABC，得出

QF

BC

=

AQ

AB

，又AQ=CP=t，则AP=3-t，则得出S与t的函数关系式S=-

2

5

t²+

6

5

t；
（3）能．①当DE∥QB时，则四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，即求得t，
②当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，解得t．

解答：解：（1）∵t=2，∴CP=2，
∵AC=3，∴AP=1，
∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4，
设点Q到AC的距离是h，
∴

h

4

=

2

5

，
∴h=

8

5

．（2分）
故答案为1；

8

5

；

（2）如图1，作QF⊥AC于点F．
∴△AQF∽△ABC，
∴

QF

BC

=

AQ

AB

，（3分）
又AQ=CP=t，∴AP=3-t，BC=

52-32

=4，
∴

QF

4

=

t

5

，
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

（3-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t；（4分）

（3）能．
①如图2，当DE∥QB时．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．（5分）
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

t

3

=

3-t

5

，
解得t=

9

8

；（6分）
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．（7分）
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得t=

15

8

．（8分）
综上，可知当t=

9

8

或

15

8

时，四边形QBED能成为直角梯形．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，是中考压轴题，难度不大．