Question

10．如图，在边长为a（a＞2）的正方形各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，则正方形MNPQ的面积为2．

Answer 1

分析 根据图形可得4×（S_△FSB+S_{四边形MFBG}）=S_{正方形MNPQ}+4×S_{四边形MFBG}，即S_{正方形MNPQ}=4S_△FSB；由此即可解决问题．

解答 解：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长a；这个新正方形与原正方形ABCD的面积相等；
通过上述的分析，可以发现S_{正方形MNPQ}=4•S_△FSB=4$•\frac{1}{2}$×1×1=2．
故答案为2．

点评 主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作作辅助线构造直角三角形进行求解．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．