Question

14、甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x₁，x₂的一元二次方程x²+px+q=0．
甲：p，q，x₁，x₂都取被3除余1的整数；
乙：p，q，x₁，x₂都取被3除余2的整数；
丙：p，q取被3除余1的整数，x₁，x₂取被3除余2的整数；
丁：p，q取被3除余2的整数，x₁，x₂取被3除余1的整数；
问：甲、乙、丙、丁是否能按上述要求各自作出方程？若可以作出，请你写出一个这样的方程，若不能作出，请你说明理由．

Answer 1

分析：结合题意，x₁，x₂是一元二次方程x²+px+q=0的两根，利用根与系数的关系得出，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，结合带余数的除法运算运算性质分别进行验证即可．

解答：解：∵甲、乙、丙、丁四人分别按下列的要求作一个解为x₁，x₂的一元二次方程x²+px+q=0．
甲：p，q，x₁，x₂都取被3除余1的整数；
假设x₁=3n+1，x₂=3m+1，
∵x₁+x₂=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，
∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，
∴不能按上述要求作出方程；

乙：p，q，x₁，x₂都取被3除余2的整数；
假设x₁=3n+2，x₂=3m+2，
∵x₁+x₂=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，
∴不能按上述要求作出方程，

丙：p，q取被3除余1的整数，x₁，x₂取被3除余2的整数；
假设x₁=3n+2，x₂=3m+2，
∵x₁+x₂=-p=3n+2+3m+2=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴3（m+n+1）+1被除3余1，即-p被除3余1，
∵x₁x₂=q=（3n+2）（3m+2）=9mn+3n+3m+4=3（3mn+m+n+1）+1，
∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，
∴能按上述要求作出方程，
例如：x²-13x+40=0，等（答案不唯一）

丁：p，q取被3除余2的整数，x₁，x₂取被3除余1的整数；
假设x₁=3n+1，x₂=3m+1，
∵x₁+x₂=-p=3n+1+3m+1=3（m+n）+2，
∴3（m+n）+2被除3余2，即-p被除3余2，
∵x₁x₂=q=（3n+1）（3m+1）=9mn+3m+3n+1=3（3mn+m+n）+1，
∴3（3mn+m+n+1）+1被除3余1，即q被除3余1，
∴不能按上述要求作出方程．

点评：此题主要考查了带余数的除法性质，利用根与系数的关系，结合两根的特点得出p与q被3除的余数是解决问题的关键．