Question

4．如图1，已知直线y=-2x+4与两轴交于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c 的顶点M在线段AB上，与y轴交于点C．
（1）若b=-2，求C点的坐标；
（2）若△ACM为等腰三角形时，求抛物线的解析式；
（3）如图2，抛物线的顶点M与B点重合，P为x轴负半轴上一点，过P点作直线l交抛物线于D、E两点，连接BD、BE，试证明：对于x轴负半轴上任意给定的一点P，都存在这样的一条直线l，使得△BPD的面积等于△BDE的面积恒成立．

Answer 1

分析 （1）由a=1，b=-2，先求得顶点的横坐标，把顶点的横坐标代入直线y=-2x+4，即可求得顶点的纵坐标，再把顶点坐标代入解析式y=x²-2x+c，求得c的值，再把x=0代入所求的解析式即可得解；
（2）由（1）可知，A（0，4），设M（t，-2t+4），C（0，t²-2t+4），根据AC=CM可得4-（t²-2t+4）=$\sqrt{{t}^{2}+{t}^{4}}$，求出抛物线的解析式即可；
（3）设P（m，0），E（n，n²-4n+4），根据△BPD的面积等于△BDE的面积判断出D为PE的中点，求出中点坐标D为（$\frac{m+n}{2}$，$\frac{{n}^{2}-4n+4}{2}$），得到n²-2mn+8m-8=0，判断出△=b²-4ac=4m²-32m+32＞0即可．

解答 解：（1）∵b=-2，
∴y=x²-2x+c，
∴顶点M的横坐标为-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2}$=1，
把x=1代入y=-2x+4得，y=-2+4=2，
∴顶点M的坐标为：（1，2），
把（1，2）代入y=x²-2x+c得，
2=1-2+c，
∴c=3，
∴二次函数解析式为：y=x²-2x+3，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为：（0，3）；
（2）由（1）可知，A（0，4），设M（t，-2t+4），C（0，t²-2t+4），
∵抛物线y=x²+bx+c 的顶点M在线段AB上，与y轴交于点C，显然∠ACM＞90°，
∴△ACM为等腰三角形时，AC=CM，
∴4-（t²-2t+4）=$\sqrt{{t}^{2}+{t}^{4}}$，
∴t=$\frac{3}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{3}{2}\\ c=\frac{49}{16}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{49}{16}$；
（3）抛物线的顶点M与B点重合时抛物线的解析式为，y=x²-4x+4，
∵△BPD的面积等于△BDE的面积，
∴D为PE的中点，
∴设P（m，0），E（n，n²-4n+4），
∴D（$\frac{m+n}{2}$，$\frac{{n}^{2}-4n+4}{2}$），
∴$\frac{{n}^{2}-4n+4}{2}$=（$\frac{m+n}{2}$）²-4•$\frac{m+n}{2}$+4，
化简得，n²-2mn-m²+8m-8=0，
∵m＜0，
∴△=b²-4ac=8m²-32m+32=8（m-2）²＞0
∴无论m为何负值时，关于n的方程总有两个不相等的实数根，即对于x轴负半轴上任意给定的一点P，都存在这样的一条直线l，使得△BPD的面积等于△BDE的面积恒成立．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及函数图象与x轴的交点、等腰三角形的性质、待定系数法求函数解析式、中点坐标公式等知识，难度较大．