Question

17．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，O是AC中点，D在OB上，且OA=OD，AD的延长线交BC于E，连接CD．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：CE=BD；
（3）若EB=$2\sqrt{5}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明OD=$\frac{1}{2}$AC即可；
（2）作BE∥AC交AD的延长线于M．只要证明DB=BM．CE=BM即可；
（3）设OA=OC=y，CE=BM=x，想办法构建方程组即可；

解答 解：（1）∵O是AC中点．
∴AO=CO，
∵OA=OD，
∴AO=OC=OD，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AE；

（2）作BE∥AC交AD的延长线于M．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA=∠BDM，AC∥BM，
∴∠BMD=∠OAD，∠ACB=∠CBM=90°，
∴∠BDM=∠BMD，
∴BD=BM，
∵∠CDE=∠CBM=90°，∠CED=∠MEB，
∴△CED∽△MEB，
∴△CED∽△MEB，
∴$\frac{DE}{EB}$=$\frac{CE}{EM}$，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{BE}{EM}$，∵∠DEB=∠CEM，
∴△DEB∽△CEM，
∴∠MCE=∠BDE=∠CAE，
∵AC=BC，∠ACE=∠CBM=90°，
∴△ACE≌△CBM，
∴CE=BM，
∴CE=BD．

（2）设OA=OC=y，CE=BM=x，
∵AC=CB，
∴2y=x+2$\sqrt{5}$     ①，
∵AC∥BM，
∴$\frac{2y}{x}$=$\frac{x}{2\sqrt{5}}$       ②
由①②可得y=$\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$（舍弃），
∴AC=2y=3$\sqrt{5}$+5．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次一次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．