Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，，，点的坐标为，且.

（1）求点的坐标；

（2）求证；

（3）在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（0,5）；（2）见解析；（3）（1,0）、（-25,0）或（12,0）

【解析】

（1）由求出，证明△AOB≌△DOC，从而得到OC=OB=5，再写出点C的坐标即可；（2）由△AOB≌△DOC可得∠CDO=∠BAO，因为∠ABO+∠BAO=90°，则∠ABO+∠CDO=90°，从而得证；（3）分CD=DP或CD=CP两种情况求解即可.

（1）∵，

∴，

∴，

解得，，

∴，，

∴，

∵，，

∴△AOB≌△DOC，

∴OC=OB=5，

∴点的坐标为（0,5）；

（2）∵△AOB≌△DOC，

∴∠CDO=∠BAO，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠ABO+∠CDO=90°，

∴；

（3）若CD=DP，则DP=DO+OP=12+OP=13，故OP=1，点P的坐标为（1,0）；

或OP=DO+CD=12+13=25，点P在x轴的负半轴上，故点P的坐标为（-25,0）；

若CD=CP，则DO=OP=12，点P的坐标为（12,0）；

综上，点P的坐标为（1,0）、（-25,0）或（12,0）.