Question

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB．
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．
（1）请在横线上直接写出抛物线C₂的解析式：

 

；
（2）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据轴对称的性质可得：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求得；
（2）根据轴对称的性质可得：AC=BC等腰三角形，借助于辅助线，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC为等腰直角三角形；
（3）首先假设成立，根据菱形的性质求解，求得m=±

3

，所以存在．

解答：解：（1）y=-x²-2mx+n．（2分）

（2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形．（3分）
理由如下：如图：
∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC．（4分）
过点A作抛物线C₁的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E．
∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n），
∴CE=1．
又∵点C的坐标为（0，n），
∴AE=1+n-n=1．
∴AE=CE．
从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45度．
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90度．
∴△ABC为等腰直角三角形．（7分）

（3）假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC．
由（2）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC．
从而△ABC为等边三角形．（8分）
∴∠ACy=∠BCy=30度．
∵四边形ABCP为菱形，且点P在C₁上，
∴点P与点C关于AD对称．
∴PC与AD的交点也为点E，
因此∠ACE=90°-30°=60度．
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+n），C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=|m|．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

|m|

=

3

．
∴|m|=

3

，∴m=±

3

．
故抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，
此时m=±

3

．（12分）
说明：只求出m的一个值扣（2分）．

点评：此题考查了二次函数与四边形以及轴对称图形的综合知识，解题时要注意辅助线选择与应用，还要注意数形结合思想的应用．