Question

已知a，b，c，d是两两不等的正整数，并且a+b=cd，ab=c+d．求出所有满足上述要求的四元数组（a，b，c，d）．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根,根与系数的关系

专题：分类讨论

分析：先根据当且仅当a=1或b=1时才有a+b≥ab，如果a、b都不等于1，则c+d=ab＞a+b=cd，由此知c=1或d=1，因此a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1，再根据a、b、c、d分别为1进行讨论即可．

解答：解：由于a≠b，所以当且仅当a=1或b=1时才有a+b≥ab，如果a、b都不等于1，则c+d=ab＞a+b=cd，
由此知c=1或d=1，
因此a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1，
如果a=1，则c=2，d=3，b=5或c=3，d=2，b=5；
b=1，则c=2，d=3，a=5或c=3，d=2，a=5；
c=1，则a=2，b=3，d=5或a=3，b=2，d=5；
d=1，则a=2，b=3，c=5或a=3，b=2，c=5．
故答案为：（1，5，2，3）、（1，5，3，2）、（5，1，2，3）、（5，1，3，2）、（2，3，1，5）、（2，3，5，1）、（2，3，5，1）、（3，2，1，5）．

点评：本题考查的是方程的整数根问题，根据题意得出a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1是解答此题的关键．