Question

16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（2，4），则点D的坐标为（　　）

• A． （$\frac{22}{3}$，0）
• B． （$\frac{15}{2}$，0）
• C． （$\frac{68}{9}$，0）
• D． （$\frac{48}{5}$，0）

Answer 1

分析 由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（2，4），利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA的解析式，又由OA⊥AB，可得直线AB的系数为-$\frac{1}{2}$，继而可求得直线AB的解析式，将直线AB与反比例函数联立，即可求得点B的坐标，设直线BD的解析式为y=2x+c，代入求出解析式，再求出直线和x轴的交点坐标即可．

解答 解：∵矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=$\frac{1}{k}$（ x＞0）上，点A的坐标为（2，4），
∴4=$\frac{k}{2}$，
解得：k=8，
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{8}{x}$，直线OA的解析式为：y=2x，
∵OA⊥AB，
∴设直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∴4=-$\frac{1}{2}$×2+b，
解得：b=5，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+5，
将直线AB与反比例函数联立得出：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点B（8，1），
∵四边形AOCB是矩形，
∴AO∥BD，
∵直线OA的解析式为y=2x，
∴设直线BD的解析式为y=2x+c，
把B的坐标代入得：1=16+c，
解得c=-15，
即y=2x-15，
当y=0时，x=$\frac{15}{2}$，
即D的坐标为（$\frac{15}{2}$，0），
故选B．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．