Question

已知：如图，△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，AE、BD交与点O
（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线AE、BD的位置关系并证明．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，
∴∠ECD+∠DCA=∠DCA+∠ACB，即∠ACE=∠DCB，
∵在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：直线AE、BD的位置关系为AE⊥BD．理由如下：如图，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=∠CDB，
∵∠1=∠2，
∴∠DOE=∠ECD=90°，
∴AE⊥BD．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ECD=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，则有∠ACE=∠DCB，根据“SAS”可判断△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到AE=BD；
（2）由△ACE≌△BCD得到∠AEC=∠CDB，而∠1=∠2，根据三角形内角和定理可得到∠DOE=∠ECD=90°，则有AE⊥BD．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．