Question

【题目】如图，在中，，平分交于点，是上一点，经过，两点的交于点，连接，作的平分线交于点，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC=6.4

【解析】

（1）连接OE，根据同圆的半径相等和角平分线可得：OE∥AC，则∠BEO=∠C=90°，解决问题；

（2）过A作AH⊥EF于H，根据三角函数先计算，证明△AEH是等腰直角三角形，则AE=AH=8，证明△AED∽△ACE，得到即可解决问题．

证明：（1）连接OE，

∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∵AE平分∠BAC，

∴∠OAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠OEA，

∴OE∥AC，

∴∠BEO=∠C=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）过A作AH⊥EF于H，

中，，

∵，

∴，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED=90°，

∵EF平分∠AED，

∴∠AEF=45°，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴AC=6.4．