Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当点P运动到抛物线顶点时，求四边形ABPC的面积；

（3）点Q是x轴上的一个动点，当点P与点C关于对称轴对称且以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）9；（3）Q1（5，0），Q2（1，0）．

【解析】

（1）运用待定系数法将B（3，0），C（0，-3）两点的坐标代入y＝ax2﹣2x+c，求出解析式即可；

（2）将四边形ABPC的面积，面积分割为S△AOC+S△OCP+S△OPB求出三个三角形的面积即可得出；

（3）求出B、C、P、Q的坐标再根据平行四边形的性质即可解答

解：（1）将B（3，0），C（0，﹣3）两点的坐标代入y＝ax2﹣2x+c得：

，

解得 ，

∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，当点P运动到抛物线顶点时，连接AC，PC，PB，PO，作PM⊥AB，PN⊥OC，

∵二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

∴P点的坐标为（1，﹣4），即PN＝1，PM＝4，还可得出OB＝3，OC＝3，AO＝1，

∴四边形ABPC的面积＝S△AOC+S△OCP+S△OPB

＝，

＝ ，

＝9；

（3）∵点P与点C关于对称轴对称，点C（0，﹣3），

∴P（2，﹣3），PC＝2，

∵点Q在x轴上，设点Q（x，0），

而B（3，0），

∴BQ＝|x﹣3|，

若以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，

则BQ∥PC，且BQ＝PC，

∴|x﹣3|＝2，

解得：x1＝5，x2＝1，

∴Q1（5，0），Q2（1，0）．