Question

某种植基地对去年瓜果生产基地的甲、乙两种瓜果的生产销售进行了统计，发现去年1至12月每千克甲种瓜果的销售价格y₁（元）与月份x（1≤x≤12，x为整数）之间存在如图所示变化趋势，每千克乙种瓜果销售价格y₂（元）与月份x（1≤x≤12，x为整数）之间的函数关系如下表：

月份x	1	2	3	4	…
销售价格y2（元）	7.75	7.5	7.25	7	…

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y₂与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，求出y₁与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年每千克甲种瓜果生产成本为2.5元，每千克乙种瓜果生产成本为2元，且去年1至12月甲种瓜果销售量p₁（万千克）与月份x满足关系式p₁=0.2x+1（1≤x≤12，x为整数），去年1至12月乙种瓜果销售量p₂（万千克）与月份x满足关系式p₂=0.4x+0.8（1≤x≤12，x为整数），求去年上半年哪一个月同时出售甲、乙两种瓜果的总利润最大？并求出其最大利润；
（3）预计今年1至5月，受物价上涨因素的影响，该基地甲种瓜果生产成本每千克比去年增加20%，乙种瓜果的生产成本每千克比去年增加1元，而甲种瓜果每千克售价在去年12月份的基础上提高m%，乙种瓜果每千克售价在去年12月份的基础上提高1.2m%，与此同时，每月甲种瓜果的销售量均在去年12月份的基础上减少3m%，每月乙种瓜果的销售量均在去年12月份的基础上减少了2m%，这样，预计今年1至5月销售乙种瓜果获得的总利润比1至5月销售甲种瓜果获得的总利润多40万元，请参考以下数据，估算m的整数值（m≤10）．
（参考数据：32²=1024，33²=1089，34²=1156，35²=1225）

Answer 1

解：（1）设y₁与x之间的函数关系式为y₁=k₁x+b₁和y₂与x之间的函数关系式为y₂=k₂x+b₂，根据条件得：
，，
解得：，，
∴y₁=-x+10，y₂=-x+8；
（2）由题意，得
W=（y₁-2.5）p₁+（y₂-2）p₂，
=（-x+10-2.5）（0.2x+1）+（-x+8-2）（0.4x+0.8），
=-x²+x+，
=-（x-8）²+，
∵a=-＜0，
∴抛物线的开口向下，函数由最大值，在抛物线的左侧W随x的增大而增大，
∵抛物线的对称轴为x=8，
∴当x=8时，W最大值=．
∵1≤x≤6，
∴x=6时，W=万元，
∴在上半年的6月份同时出售甲、乙两种瓜果的总利润最大，最大值为万元；
（3）由题意得：
甲种瓜果今年1月份的成本为：2.5（1+20%）=3元，
售价为：4（1+m%）元，
销量为：（0.2×12+1）（1-3m%），
乙种瓜果1月份的成本为：2+1=3元，
售价为：（-×12+8）（1+1.2m%）=5（1+1.2m%），
销量为：（0.4×12+0.8）（1-2m%）=5.6（1-2m%），
∴5[5（1+1.2m%）-3][5.6（1-2m%）]-5[4（1+m%）-3][3.4（1-3m%）]=40，
设m%=a，则有
5[5（1+1.2a）-3][5.6（1-2a）]-5[4（1+a）-3][3.4（1-3a）]=40，
整理，得
132a2-39a+1=0，
∴a=，
=．
∵32²=1024，
∴a=，
∴a₁≈0.2689，a₂≈0.0265，
∴m%=0.2689或m%=0.0265，
∴m₁=26.89，m₂=2.65．
∵m是整数（m≤10）．
∴m=3．
答：m的整数值为3．
分析：（1）直接运用待定系数法根据y₁与x之间的函数图象和y₂与x之间的函数关系表就可以求出y₁与x之间的函数关系式和y₂与x之间的函数关系式；
（2）设同时出售甲、乙两种瓜果的总利润为W万元，先根据利润=售价-成本分别表示出甲种瓜果的利润和乙种瓜果的利润就可以表示出总利润；
（3）先分别求出甲种瓜果今年1月份的成本为2.5（1+20%）=3元，售价为4（1+m%）元，销量为（0.2×12+1）（1-3m%），乙种瓜果1月份的成本为2+1=3元，售价为（-×12+8）（1+1.2m%）=5（1+1.2m%），销量为（0.4×12+0.8）（1-2m%）=5.6（1-2m%），再根据今年1至5月销售乙种瓜果获得的总利润比1至5月销售甲种瓜果获得的总利润多40万元为等量关系建立方程求出其解即可．
点评：本题是一道关于二次函数的运用的试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时根据今年1至5月销售乙种瓜果获得的总利润比1至5月销售甲种瓜果获得的总利润多40万元为等量关系建立方程是解答第三问的关键．