Question

15、已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．
（1）求证：PA∥BC；
（2）求⊙O的半径及CD的长．

Answer 1

分析：（1）如图；由AB=AC，可以得到∠1=∠2，然后利用弦切角定理就可以证得PA与BC的内错角相等，由此得证；
（2）本题需构建直角三角形求解，连接OA，交BC于G，由垂径定理知：OA垂直平分BC，
在Rt△ABG中，已知了AB、BG的长，根据勾股定理可求出AG的长，
在Rt△OBG中，用圆的半径表示出OG的长，然后根据勾股定理，求出圆的半径长，进而可求出OG的长，
△BCD中，易证得OG是△BCD的中位线，由此可求出CD的长．

解答：解：（1）证明：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠2．
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∴∠PAB=∠1．
∴PA∥BC．

（2）连接OA交BC于点G，则OA⊥PA；
由（1）可知，PA∥BC，
∴OA⊥BC．
∴G为BC的中点，
∵BC=24，
∴BG=12．
又∵AB=13，
∴AG=5．
设⊙O的半径为R，则OG=OA-AG=R-5，
在Rt△BOG中，
∵OB²=BG²+OG²，
∴R²=12²+（R-5）²，
∴R=16.9，OG=11.9；
∵BD是⊙O的直径，
∴DC⊥BC．
又∵OG⊥BC，
∴OG∥DC．
∵点O是BD的中点，
∴DC=2OG=23.8．

点评：此题综合考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、勾股定理、垂径定理、中位线定理等知识点，综合性较强，难度较大．