Question

（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．
（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．
（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；
（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．
（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．
解答：（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，
∵sinB==，
∴∠B=30°；

（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，
∴EA=FD=×边长=1，
∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，
∴A′D=AD=2，
∴=，
∴∠FA′D=30°，
可得∠FDA′=90°-30°=60°，
∵A沿GD折叠落在A′处，
∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，
∴∠ADG===15°，
∵A′D=2，FD=1，
∴A′F==，
∴EA′=EF-A′F=2-，
∵∠EA′G+∠DA′F=180°-∠GA′D=90°，
∴∠EA′G=90°-∠DA′F=90°-30°=60°，
∴∠EGA′=90°-∠EA′G=90°-60°=30°，
则A′G=AG=2EA′=2（2-）；

（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，
∴DA=AO=CO=CB，
∴DA=，
∵∠D=90°，
∴∠DCA=30°，
∵AB=CD=6，
在Rt△ACD中，=tan30°，
则AD=DC•tan30°=6×=2，
∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，
∴=tan30°=，
∴DF=AD=2，
∴DF=FO=2，
同理EO=2，
∴EF=EO+FO=4．
点评：本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．