Question

在?ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=

1

2

BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．

解答：（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=

1

2

AD．
又∵CE=

1

2

BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；

（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在?ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=

1

2

CD=2，DH=2

3

．
在?CEDF中，CE=DF=

1

2

AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=

(2 3 )2+1

=

13

．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．