Question

如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．
（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°．
即MA⊥AB．
∴MN是半圆的切线．

（2）证明：
证法1：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC=∠2．
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠2=90°．
∵∠DBC=∠2，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD．
∴FD=FG．
证法2：连接AD，则∠1=∠2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠1+∠DGF=90°．
又∵DE⊥AB，
∴∠2+∠FDG=90°．
∴∠FDG=∠FGD．
∴FD=FG．

（3）解：解法1：过点F作FH⊥DG于H，
又∵DF=FG，
∴S_△FGH=S_△DFG=×4.5=．
∵AB是直径，FH⊥DG，
∴∠C=∠FHG=90°．
∵∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC．
∴．
∴S_△BCG==16．

解法2：∵∠ADB=90°，DE⊥AB，
∴∠3=∠2．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴AF=DF=FG．
∴S_△ADG=9．
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．
∴．
∴S_△BCG=．

解法3：连接AD，过点F作FH⊥DG于H．
∵S_FDG=DG×FH=×3FH=4.5，
∴FH=3．
∵H是DG的中点，FH∥AD，
∴AD=2FH=6
∴S_△ADG=．
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．
∵DG=3，GC=4，
∴=（）²，
∴=（）²，
∴S_△BCG=16．
分析：（1）要证MN是⊙O的切线，只需证明MA⊥AB即可，易得∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB；故可得证．
（2）连接AD，则∠1=∠2，进而可得∠1+∠DGF=90°，故∠FDG=∠FGD，即FD=FG．
（3）求△BCG的面积，只需证得△FGH∽△BGC，再根据相似三角形的性质，求得△BCG的面积．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．