Question

（2013•义乌市）如图1所示，已知y=

6

x

（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2

3

，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

Answer 1

分析：（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；
（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S_{四边形BQNC}=2

3

求出OA=3，于是P点坐标求出；
（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长．

解答：解：（1）S_△PAB=S_△PAO=

1

2

xy=

1

2

×6=3；

（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=

1

2

AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，

BQ=NQ ∠BQA=∠NQA QA=QA

，
∴△ABQ≌△ANQ，
∴∠BAQ=∠NAQ=30°，
∴∠BAO=30°，
∵S_{四边形BQNC}=2

3

，
∴BQ=2，
∴AB=

3

BQ=2

3

，
∴OA=

3

2

AB=3，
又∵P点在反比例函数y=

6

x

的图象上，
∴P点坐标为（3，2）；

（3）∵OB=1，OA=3，
∴AB=

10

，
∵△AOB∽△DBA，
∴

OB

AB

=

OA

BD

，
∴BD=3

10

，
①如图2，当点Q在线段BD上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=

1

2

AQ，
∵四边形BNQC是平行四边形，
∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，
∴

CN

QD

=

AC

AQ

=

1

2

，
∴BQ=CN=

1

3

BD=

10

，
∴AQ=2

5

，
∴C_{四边形BQNC}=2

10

+2

5

；
②如图3，当点Q在射线BD的延长线上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=CQ=

1

2

AQ，
∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，
∴

BD

QD

=

BN

AQ

=

1

2

，
∴BQ=3BD=9

10

，
∴AQ=

AB2+BQ2

=

( 10 )2+(9 10 )2

=2

205

，
∴C_{四边形BNQC}=2AQ=4

205

．

点评：本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质以及菱形等知识，综合性较强，有一定的难度．