如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．分析 （1）在直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；
（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；
（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，可判定△AFG与△AGB相似；
（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4-2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．
解答 解：
（1）在直线y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$中，
令y=0可得0=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，解得x=2，
令x=0可得y=2$\sqrt{3}$，
∴A为（2，0），B为（0，2$\sqrt{3}$）；
（2）由（1）可知OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°，
∵运动时间为t秒，
∴BE=$\sqrt{3}$t，
∵EF∥x轴，
∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=t，BF=2EF=2t，
在Rt△ABO中，OA=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
∴AF=4-2t；
（3）相似．理由如下：
当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，
即t=4-2t，解得t=$\frac{4}{3}$，
∴AF=4-2t=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，OE=OB-BE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，
则四边形OEGH为矩形，
∴GH=OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，
∴OA=AH=2，
在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）2+22=$\frac{16}{3}$，
又AF•AB=$\frac{4}{3}$×4=$\frac{16}{3}$，
∴AF•AB=AG2，即$\frac{AF}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，且∠FAG=∠GAB，
∴△AFG∽△AGB；
（4）存在，
∵EG∥x轴，
∴∠GFA=∠BAO=60°，
又G点不能在抛物线的对称轴上，
∴∠FGA≠90°，
∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，
又∠FGA=30°，
∴FG=2AF，
∵EF=t，EG=4，
∴FG=4-t，且AF=4-2t，
∴4-t=2（4-2t），
解得t=$\frac{4}{3}$，
即当t的值为$\frac{4}{3}$秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB-BE=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴E点坐标为（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵抛物线的顶点为A，
∴可设抛物线解析式为y=a（x-2）2，
把E点坐标代入可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4a，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-2）2，
即y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的对称性等．在（2）中求得∠ABO=30°是解题的关键，在（3）中求得t的值，表示出AG的长度是解题的关键，在（4）中判断出∠FAG为直角是解题的突破口．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y=2x，将直线l1向左平移，使之分别与x、y轴交于点A、B，若OA=2，则线段OB的长为（ ）| A． | 3 | B． | 4 | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | 2$\sqrt{3}$ |
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，点P在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）第一象限的图象上，PQ垂直x轴，垂足为Q，设△POQ的面积是s，那么s与k之间的数量关系是（ ）| A． | $s=\frac{k}{4}$ | B． | $s=\frac{k}{2}$ | C． | s=k | D． | 不能确定 |
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | a＞1 | B． | a＜-1 | C． | -1＜a＜1 | D． | -1＜a＜0或0＜a＜1 |
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | （1，0） | B． | （1，-4） | C． | （-1，0） | D． | （-5，-1） |
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如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．
如图，在⊙O中，AB是弦，C是$\widehat{AB}$上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为30度．