Question

设x₁、x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立，请说明理由．

Answer 1

分析：方程有两实数根下必须满足△=b²-4ac≥0．又由两根之积大于两根之和，根据根与系数的关系，即可得到关于k的不等式，解得k即可．

解答：解：∵方程有实数根，∴b²-4ac≥0，∴（-4）²-4（k+1）≥0，即k≤3．（2分）
∵x=

4± (-4)2-4(k+1)

2

=2±

3-k

，
∴x1+x2=(2+

3-k

)+(2-

3-k

)=4，
x1•x2=(2+

3-k

)•(2-

3-k

)=k+1（3分）
若x₁•x₂＞x₁+x₂，即k+1＞4，∴k＞3．
而k≤3，因此，不存在实数k，使得x₁•x₂＞x₁+x₂成立．（3分）

点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．