Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=AC，过点B作射线BP交AD，AC分别于E，F两点，与过点C平行于AB的直线交于点P．
（1）求证：EB²=EF•EP；
（2）若过点B的射线交AD，AC的延长线分别于E，F两点，与过点C的平行于AB的直线交于点P，则结论（1）是否成立？若成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接CE，由等腰三角形的性质，可得AD是BC的垂直平分线，则可得EB=EC，然后证得△EFC∽△ECP，由相似三角形的对应边成比例，即可证得EB²=EF•EP；
（2）同理连接CE，由等腰三角形的性质，可得AD是BC的垂直平分线，则可得EB=EC，然后证得△EFC∽△ECP，由相似三角形的对应边成比例，即可证得EB²=EF•EP．

解答：（1）证明：连接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，
即∠1=∠2，
∵AB∥PC，
∴∠1=∠P，
∴∠2=∠P，
∵∠3是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF•EP；

（2）连接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC+∠EBC=∠ACB+∠ECB，
即∠ABE=∠ACE，
∵AB∥PC，
∴∠ABE=∠CPF，
∴∠ACE=∠CPF，
∵∠F=∠ACE-∠1，∠PCE=∠CPF-∠1，
∴∠PCE=∠F，
∵∠1是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF•EP．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．