Question

11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x²+bx+c的图象经过（-1，0）和（$\frac{3}{2}$，0）两点．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）直接写出当-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，y的取值范围．
（3）将一次函数y=（1-k）x+2的图象向下平移k（k＞0）个单位后，与二次函数y=2x²+bx+c图象交点的横坐标分别是m和n，其中m＜2＜n，试求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的图象经过（-1，0）和（$\frac{3}{2}$，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）根据图象即可得出当-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，y的取值范围；
（3）将一次函数 y=（1-k）x+2的图象向下平移k个单位后的一次函数表达式为y=（1-k）x+2-k，由题意得2x²-x-3=（1-k）x+2-k，整理得2x²+（k-2）x+k-5=0，因为m＜2＜n，m≠n，△=（k-2）²-4×2×（k-5）=（k-6）²+8＞0，把x=2代入（1-k）x+2-k＞2x²-x-3，解得k＜$\frac{1}{3}$，所以m的取值范围为m＜$\frac{1}{3}$的全体实数．

解答 解：（1）由二次函数的图象经过（-1，0）和（$\frac{3}{2}$，0）两点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=2-b+c}\\{0=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴此二次函数的表达式y=2x²-x-3；

（2）当x=-$\frac{3}{2}$时，y=3，当x=1时，y=-2，
又∵二次函数的顶点坐标是（$\frac{1}{4}$，-$\frac{25}{8}$）
∴当-$\frac{3}{2}$＜x＜1时，y的取值范围是-$\frac{25}{8}$≤y＜3；

（3）将一次函数 y=（1-k）x+2的图象向下平移k个单位后的一次函数表达式为y=（1-k）x+2-k，
∵y=（1-k）x+2-k与二次函数y=2x²+bx+c图象交点的横坐标为m和n，
∴2x²-x-3=（1-k）x+2-k，整理得
2x²+（k-2）x+k-5=0
∵m＜2＜n
∴m≠n
∴△=（k-2）²-4×2×（k-5）=（k-6）²+8＞0
∴k≠1
∵m＜2＜n
当x=2时，（1-k）x+2-k＞2x²-x-3
把x=2代入（1-k）x+2-k＞2x²-x-3，解得k＜$\frac{1}{3}$
∴k的取值范围为k＜$\frac{1}{3}$的全体实数．

点评 本题主要考查了求二次函数的解析式以及二次函数的图象与几何变换．