Question

4．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标；
（2）若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC的最小值；
（3）若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且纵坐标分别为m，m+2，当四边形CBQP周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、C关于对称轴对称，根据两点之间线段最短，可得AB，根据勾股定理，可得AB的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得M的坐标；
（3）根据平行四边形的性质，可得BQ=PD，BD=PQ，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、C关于对称轴对称，根据两点之间线段最短，可得AD，根据勾股定理，可得AD的长，BC的长，根据等量代换，可得BC+PQ++AD，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标，根据PQ的关系，可得Q点坐标．

解答 解：（1）将A、B、C的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=3}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²-2x+3，
配方，得y=-（x+1）²+4，即顶点坐标为（-1，4）；
（2）连接AB交对称轴于M，连接MC，如图1，
由A、C关于对称轴对称，得AM=MC．
由两点间线段最短，得
MB+MC=AM+MB=AB．
由勾股定理，得AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即MB+MC=3$\sqrt{2}$，
设AB的解析式为y=kx+b，将A、B坐标代入解得k=1，b=3，
AB的解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，即M（-1，2）；
（3）将B点向下平移两个单位，得D点，连接AD交对称轴于P，作BQ∥PD交对称轴于Q点，
如图2，
PQ∥BD，BQ∥PD，四边形BDPQ是平行四边形，
BQ=PD，PQ=BD=2．
BQ+PC=PD+AP=AD．
由勾股定理，得AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
四边形CBQP周长的最小值=BC+BQ+PQ+PC
=BC+PQ+（BQ+PC）
=BC+PQ++AD
=$\sqrt{10}$+2+$\sqrt{10}$=2$\sqrt{10}$+2；
设AD的解析式为y=kx+b，将A、D点坐标代入解得k=$\frac{1}{3}$，b=1．
AD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+1，
当x=-1时，y=$\frac{2}{3}$，即P（-1，$\frac{2}{3}$），
由PQ=2，得Q（-1，$\frac{8}{3}$），
当四边形CBQP周长最小时，此时点P（-1，$\frac{2}{3}$），Q的坐标（-1，$\frac{8}{3}$），
四边形CBQP周长的最小值是2$\sqrt{10}$+2．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式；利用两点之间线段最短得出AB=BM+CM是解题关键；利用平行四边形的性质得出BQ=PD，BD=PQ是解题关键，又利用了轴对称的性质，线段的性质．