Question

如图是一个等腰直角三角板△ABC，AC=BC，∠ACB=90°，把三角板△ABC放在平面直角坐标平面内，点A（0，2）、C（1，0），函数y=（x＞0，m为常数）的图象经过点B，过点B作x轴垂线，垂足为D．
（1）求证：△AOC≌△CDB；
（2）求函数y=的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCD=90°，
而∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
∴△AOC≌△CDB；

（2）解：∵A（0，2）、C（1，0），
∴OA=2，OC=1，
又∵△AOC≌△CDB，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴B点坐标为（3，1），
把B（3，1）代入y=（x＞0）得m=1×3=3，
∴函数y=的解析式为：y=．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，∠ACB=90°，再根据等角的余角相等得到∠OAC=∠BCD，即可证明Rt△AOC≌Rt△CDB；
（2）根据三角形全等的性质得到BD=OC=1，CD=OA=2，则可确定B点坐标，把B点坐标代入反比例解析式即可求出m．
点评：本题考查了点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式．也考查了等腰直角三角形的性质以及三角形全等的判定与性质．