Question

11．如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，求出∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，求出PD=AD•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，即可得出答案．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP=60°，
∴∠APC=120°，
∴点P的运动轨迹是$\widehat{AC}$，
当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA=PC，OB⊥AC，
则AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴PD=AD•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BD=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，
∴PB=BD-PD=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键．