Question

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．
（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由；
（2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．

Answer 1

解：（1）存在．
如图所示，AP⊥PD，
∴∠APD=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
又∵DC⊥BC，
∴∠DCP=90°，
∴∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB=∠PDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
设BP=x，则CP=4-x，
∴=，即4：（4-x）=x：1，
即x（4-x）=4，
∴x²-4x+4=0，
即（x-2）²=0，
得出x=2，即BP=2；

（2）过D作DE⊥AB于E，
易得DC=BE=b，AE=a-b，BC=DE==，
由（1）得△ABP∽△PCD，设PC=x，
则=，
化简得方程：x⁴-（c²-a²-b²）x²+a²b²=0，
若存在点P，则方程有实数根，
∴△=（c²-a²-b²）²-4a²b²=（c²-a²-b²+2ab）（c2-a²-b²-2ab）=[（c²-（a-b）²][c²-（a+b）²]≥0，
∵c＞a-b，
∴c²-（a+b）²≥0，
∴c≥a+b，
∴当c≥a+b时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．
分析：（1）△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的长；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理用a、b、c表示出BC的长，再根据（1）的结论得出关于x的方程，利用一元二次方程跟的判别式即可求解．
点评：本题可以假设存在，根据相似三角形的性质得出比例式，找出P点．