Question

18．如图，两个等腰角形△CAB与△CED，其CA=CB，CE=CD，∠ACB=∠ECD=α，连接AD、CE．求证：
（1）△ACD≌△BCE；
（2）∠BMD与∠ACB互补；
（3）连接MC，求证：MC平分∠BMD．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得∠ACD=∠BCE，再结合已知条件可证明△ACD≌△BCE；
（2）结合（1）可求得∠ACB=∠AMB，则可证明∠ACB+∠BMD=180°；
（3）分别过C作CP⊥AD，CQ⊥BE，垂足分别为P、Q，由结合（1）可求得CP=CQ，由角平分线的判定可证得结论．

解答 证明：
（1）∵∠ACB=∠ECD=α，
∴∠ECD+∠ACE=∠ACB+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠MAC+∠AMB=∠MBC+∠ACB，
∴∠AMB=∠ACB，
∵∠AMB+∠BMD=180°，
∴∠ACB+∠BMD=180°，
即∠ACB和∠BMD互补；
（3）如图，过C作CP⊥AD，作CQ⊥BE，垂足分别为P、Q，

∵△ACD≌△BCE，
∴∠PAC=∠QBC，
在△APC和△BQC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAC=∠QBC}\\{∠CPA=∠BQC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△APC≌△BQC（AAS），
∴CP=CQ，
∴点C在∠BMD的角平分线上，
即MC平分∠BMD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是的解题的关键．