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20.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x-2分别与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,直线EF垂直平分线段BC,分别交BC于点E,y轴于点F.
(1)判定△ABC的形状;
(2)在线段BC下方的抛物线上有一点P,当△BCP面积最大时,点P沿适当的路径运动到直线AC上的点M处,再沿垂直于AC的方向运动到直线EF上的点N处,最后沿适当的路径运动到点B处停止运动,当点P的运动路径最短时,求点N的坐标及点P经过的最短路径长.
(3)如图2,过点E作EH⊥x轴于点H,将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α(0°≤α≤90°),∠DEH的两边分别交BO,CO于点K,点T,当△KET为等腰三角形时,求此时KT的值.

分析 (1)结论:△ABC是直角三角形.求出A、B、C三点坐标,求出AC、BC、AB的长,利用勾股定理的逆定理证明即可.
(2)如图1中,设P(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-2),由S△BCP=S△OCP+S△OBP-S△OBC,构建二次函数,理由二次函数的性质,求出点P的坐标,作P关于直线AC的对称点P′,连接P′E交直线AC于M,作MN⊥EF于N,则线路P→M→N→B的路径最短,理由对称求出点P′坐标,求出想EP′与AC的交点M,再利用平移的性质可得N的坐标,再求出最短路径=EP′+EB即可解决问题.
(3)①如图2中,当K与O重合,T与D重合时,△EKT的等腰三角形,求出KT即可解决问题.②如图3中,当TE=KE时,作KN⊥CE于N,EQ⊥OC于Q,则四边形OQEH是矩形,由△KEN≌△ETH,推出KN=EH=1,再想办法求出OK,OT即可解决问题.

解答 解:(1)结论:△ABC是直角三角形.
理由如下:对于抛物线抛物线y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x-2,令y=0,得$\frac{1}{2}$x2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x-2=0,解得x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2$\sqrt{3}$,
∴A(-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,0),B(2$\sqrt{3}$,0),
令x=0得到y=-2,
∴C(0,-2),
∴OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,OC=2,OB=2$\sqrt{3}$,AB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,BC=4,
∴AC2+BC2=$\frac{64}{3}$,AB2=$\frac{64}{3}$,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形.

(2)如图1中,设P(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-2),

S△BCP=S△OCP+S△OBP-S△OBC=$\frac{1}{2}$•2•m+$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•(-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+2)-$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$(m-$\sqrt{3}$)2+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴m=$\sqrt{3}$时,△PBC的面积最大,此时P($\sqrt{3}$,-$\frac{5}{2}$),
作P关于直线AC的对称点P′,连接P′E交直线AC于M,作MN⊥EF于N,则线路P→M→N→B的路径最短,
理由:易证四边形MNBE是平行四边形,可得MN=EC=EB,EM=BN,
∴PM+MN+NB=P′M+EM+EB,根据两点之间线段最短可知,此时线路P→M→N→B的路径最短.
∵直线AC的解析式为y=-$\sqrt{3}$x-2,P、P′关于直线AC对称,
∴P′(-$\frac{\sqrt{3}}{4}$,-$\frac{15}{4}$),
∴直线EP′的解析式为y=$\frac{11\sqrt{3}}{15}$x-$\frac{16}{5}$,
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x-2}\\{y=\frac{11\sqrt{3}}{15}x-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{3}}{13}}\\{y=-\frac{35}{13}}\end{array}\right.$,
∴M($\frac{3\sqrt{3}}{13}$,-$\frac{35}{13}$),
∵CM=EN,CM∥EN,由平移的性质可知N($\frac{16\sqrt{3}}{13}$,-$\frac{22}{13}$).(把点E向左平移$\frac{3\sqrt{3}}{13}$个单位,向下平移$\frac{9}{13}$个单位得到N),
最短路径=EP′+EB=$\frac{7}{2}$+2=$\frac{11}{2}$.

(3)①如图2中,

在Rt△BOC中,tan∠CBO=$\frac{CO}{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴∠CBO=30°,
∵EF⊥BC,
∴∠FEB=90°,∠EDB=60°,
∵EH⊥OB,
∴∠DEH=30°,
当K与O重合,T与D重合时,△EKT的等腰三角形,
易知TE=TK=$\frac{\sqrt{3}}{3}$•EB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

②如图3中,当TE=KE时,作KN⊥CE于N,EQ⊥OC于Q,则四边形OQEH是矩形,

易知:HE=1,∠CKN=30°,
∵∠QEH=90°,∠KET=30°,
∴∠TEH=60°-∠QEK,
∴∠EKN=90°-∠QEC-∠QEK=60°-∠QEK,
∴∠EKN=∠TEH,
∵ET=EK,∠KNE=∠EHT=90°,
∴△KEN≌△ETH,
∴KN=EH=1,
在Rt△CNK中,易知CN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,CK=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴EN=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴TH=EN=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴OT=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2,OK=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴KT2=OK2+OT2=$\frac{44}{3}$-8$\sqrt{3}$,
∴KT=$\sqrt{\frac{44}{3}-8\sqrt{3}}$.

③如图4中,当ET=EK时,作EQ⊥OC于Q,在EQ上取一点M,使得TM=ME.

∵ET=EK,EQ⊥TK,
∴TQ=QK,∠TEM=∠MTE=15°,∠TMQ=∠MET+∠MTE=30°,设TQ=a,则TM=EM=2a,QM=$\sqrt{3}$a,
∵EQ=$\sqrt{3}$,
∴$\sqrt{3}$a+2a=$\sqrt{3}$,
∴a=2$\sqrt{3}$-3,
∴TK2=4a2=84-48$\sqrt{3}$=(4$\sqrt{3}$-6)2
∴KT=4$\sqrt{3}$-6.
综上所述,当△ETK是等腰三角形时,KT的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$、$\sqrt{\frac{44}{3}-8\sqrt{3}}$、4$\sqrt{3}$-6.

点评 本题考查二次函数综合题、涉及矩形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识角问题,学会用分类讨论的思想思考问题,综合程度较高,属于中考压轴题.

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