Question

（本题14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过、、三点．

⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
⑶ 若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

（1)抛物线的解析式为 y=x²/2+x-4
（2)作MN垂直x轴于N，则
S△AMB=S梯形OBMN+S△NMA-S△ABO
=1/2|-4-(m²/2+m-4)||m|+1/2|m²/2+m-4||-4-m|-8
=-m²-4m (-4＜m＜0)
即S关于M的函数关系式为 S(m)=-m²-4m (-4＜m＜0)
-m²-4m =-m(m+4)≤(-m+m+4)²/4=4，当m=-2时取等号，则
S(m)max=S(-2)=4
（3)要满足使点P,Q,B,O为顶点的四边形为平行四边形，可分为两种情况
第一种情况是OB为四边形的一边，要使其为平行四边形，则OB平行且等于PQ，即|x²/2+x-4+x|=4
x1=2√5-2，x2=-2√5-2，x3=-4
此时Q点坐标为(2√5-2，2-2√5)、(-2√5-2，2√5+2)或(-4，4)
第二种情况是OB为四边形的对角线，则OQ必为四边形的一边，要使其为平行四边形，则OQ平行且等于PB
过点B且平行于OQ的直线为 y=-x-4
与抛物线 y=x²/2+x-4 的另一交点为P(-4，0)，|PB|=4√2
|OQ|=|PB|，则Q点为(4，-4)
综上所述，Q点坐标为(2√5-2，2-2√5)、(-2√5-2，2√5+2)、(-4，4)或(4，-4)时满足题意

解析