Question

19．如图，矩形的长为4，宽为a（a＜4），剪去一个边长最大的正方形后剩下一个矩型，同样的方法操作，在剩下的矩形中再剪去一个最大的正方形，若剪去三个正方形后，剩下的恰好是一个正方形，则最后一个正方形的边长是$\frac{4}{5}$或1．

Answer 1

分析 第一次操作后剩余长方形的两边分别是（4-a）与a，因为无法判断（4-a）与a的大小，故该长方形的长和宽有两种可能，第二次操作后的情形与第一次操作后的情形一样，依此类推第三次操作后的四边形的两边就有四种可能，具体分析求取所求．

解答 解：如图所示：同样的方法操作3次后最后一个正方形的边长有以下四种可能：

∵最后一个四边形是正方形，
∴有4-2a-a=a或a-4+2a=4-2a或2a-4-4+a=4-a或4-a-2a+4=2a-4
解得a=1或a=$\frac{8}{5}$或a=3或a=$\frac{12}{5}$．
∴①当a=1时，最后一个正方形的边长为1
②当a=$\frac{8}{5}$时，则a-4+2a=$\frac{4}{5}$，而4-2a=$\frac{4}{5}$，即最后一个正方形的边长为$\frac{4}{5}$．
③当a=3时，2a-4-4+a=1，4-a=1，即最后一个正方形的边长为1
④当a=$\frac{12}{5}$时，4-a-2a+4=$\frac{4}{5}$，2a-4=$\frac{4}{5}$，即最后一个正方形的边长为$\frac{4}{5}$
综上所述，最后一个正方形的边长是$\frac{4}{5}$或1．
故答案为$\frac{4}{5}$或1

点评 本题考查了正方形与长方形的性质与联系，解题的关键是根据在长方形中剪去一个最大的正方形必须满足的条件是：宽不能大于其长．