Question

【题目】操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接PC．

∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE
（2）解：共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2﹣ ，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+ 时，此时PB=EB
（3）解：MD：ME=1：3．
过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．

∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵ ，HB=MH，
∴ ．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴ ．
【解析】本题等腰三角形的判定与性质.本题考查了等腰三角形的性质与判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解．辅助线的作出是解答本题的关键．
（1）连接PC，通过证明△DPC≌△EPB，得出PD=PE．
（2）分EP=EB、EP=PB时、BE=BP三种情况进行解答．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．