Question

【题目】在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5 ，CD=5，∠ABC=90°，求对角线BD的长．

Answer 1

【答案】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∴AC=5，
∵AD=5 ，CD=5，
∴AC2+CD2=AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = = =1，
∴CM=AB=5，DM=BC=4，
∴BM=BC+CM=9，
∴BD= = = ．
【解析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=AB=5，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=9，再由勾股定理求出BD即可．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形即可以解答此题．