Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，过点C作CD⊥AD，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：△PCF是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，等量代换得到∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；
（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，即可证得PC=PF．

解答 证明：（1）如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．

点评 此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质、切线的判定、垂径定理、圆周角定理、以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，是一道不错的中考题目．