已知自然数n不能被5整除.求证:n4-1一定能被5整除．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17、已知自然数n不能被5整除，求证：n⁴-1一定能被5整除．

分析：由自然数n不能被5整除，即可得n的个位数字不为0和5，然后分别从若n的个位数字为1，3，7，9与若n的个位数字为2，4，6，8去分析，即可得n⁴-1的个位数字是0或5，则可证得n⁴-1一定能被5整除．

解答：证明：∵自然数n不能被5整除，
∴n的个位数字不为0和5，（2分）
若n的个位数字为1，3，7，9，则n⁴的个位数字总是1，故n⁴-1的个位数字为0．
若n的个位数字为2，4，6，8，则n⁴的个位数字总是6，故n⁴-1的个位数字为5．
∴n⁴-1总能被5整除．（12分）

点评：此题考查了数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是掌握自然数n能被5整除，则n的个位数字为0或5；注意分类讨论思想的应用．

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科目：初中数学 来源： 题型：

将连续的奇数1，3，5，7，…，排成如图所示的数表，用十字框任意框出5个数．
探究规律一：设十字框中间的奇数为a，则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为

．
结论：这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍，这个自然数p是

．
探究规律二：
落在十字框中间且又是第二列的奇数是15，27，39…则这一列数可以用代数式表示为12m+3（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第三列，第四列，第五列的奇数分别可表示为

．
运用规律：
（1）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是

．这个奇数落在从左往右第

列．
（2）请你写出一个不能够框在十字框中间的且大于500的奇数：

．
（3）被十字框框中的五个奇数之和可能是485吗？可能是3045吗？说说你的理由．

变通运用：
若把这些奇数重新排列如右图，解答下列问题：
（1）下列能被十字框框在中间的奇数是（

　）
A.841 B.1121 C.1263 D.1091
（2）被框在十字框中的五个数之和可能是1925吗？说说你的理由．

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科目：初中数学 来源：数学教研室 题型：013

选择题

(1)6÷5=1.2，表示

[　　]

A．6能被5整除

B．6能被5除尽

C．6不能被5除尽

D．5能整除6

(2)和22相邻的整数是

[　　]

A．20、21

B．21、23

C．23、24

D．都是

(3)下面四句话中，正确的是

[　　]

A．最小的整数是1

B．整数一定比小数大

C．4能被0.8整除

D．负整数、0、正整数都是整数

(4)已知正整数a能整除23，那么a是

[　　]

A．46

B．23

C．1或23

D．任何自然数

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科目：初中数学 来源： 题型：013

选择题

(1)6÷5=1.2，表示

[　　]

A．6能被5整除

B．6能被5除尽

C．6不能被5除尽

D．5能整除6

(2)和22相邻的整数是

[　　]

A．20、21

B．21、23

C．23、24

D．都是

(3)下面四句话中，正确的是

[　　]

A．最小的整数是1

B．整数一定比小数大

C．4能被0.8整除

D．负整数、0、正整数都是整数

(4)已知正整数a能整除23，那么a是

[　　]

A．46

B．23

C．1或23

D．任何自然数

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科目：初中数学 来源：2010年安徽省马鞍山市第二中学理科实验班招生数学试卷（解析版） 题型：解答题

已知自然数n不能被5整除，求证：n⁴-1一定能被5整除．

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