Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（2，0）、C（0，2）两点，与x轴的另一个交点为A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D从点C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向点B运动，作DE⊥CB交y轴于点E，以CD、DE为边作矩形CDEF，设点D运动时间为t（s）．

①当点F落在抛物线上时，求t的值；

②若点D在运动过程中，设△ABC与矩形CDEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②，，

【解析】

（1）把B、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）①点F在抛物线上，作DG⊥y轴，FH⊥y轴，证明△CDG≌△EFH，根据全等三角形的性质有CG=HE，GD=FH，证明△CGD∽△COB，根据相似三角形的性质得到表示出OH的长度，即可求得点F的坐标，最后将点F的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
②当时，S=CDDE；当时，S=矩形DEGF的面积-△GEH的面积．当时，

解：（1）把两点代入抛物线解析式得：

解得：

则抛物线解析式为

（2）①如图1所示，点F在抛物线上，作DG⊥y轴，FH⊥y轴，

易得△CDG≌△EFH，即CG＝HE，GD＝FH，

由题意得：

∵△CGD∽△COB，

∴

即

∴OH＝，即

代入抛物线解析式得：

解得：t=；

②分三种情况考虑：

（i）如图2所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为矩形CDEF，

在Rt△CDE中，

∴DE＝3t，

（ii）如图3所示，△ABC与矩形CDEF重叠部分为五边形CDHGF，

由题意得：

在Rt△CED中，∠ECD＝60°，

∴

∴

在Rt△OGE中，

同理可得 即

则

（iii）如图4，△ABC与矩形CDEF重叠部分为四边形CDMN，

由题意得：

在Rt△BMD中，

则

，