Question

【题目】如图1，直角坐标系中有一矩形OABC，其中O是坐标原点，点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（3，4），直线交AB于点D，点P是直线位于第一象限上的一点，连接PA，以PA为半径作⊙P，

（1）连接AC，当点P落在AC上时， 求PA的长；

（2）当⊙P经过点O时，求证：△PAD是等腰三角形；

（3）设点P的横坐标为m，

①在点P移动的过程中，当⊙P与矩形OABC某一边的交点恰为该边的中点时，求所有满足要求的m值；

②如图2，记⊙P与直线的两个交点分别为E，F（点E在点P左下方），当DE，DF满足时，求m的取值范围.（请直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）△PAD是等腰三角形，证明见解析；（3）①， ，2或；②

【解析】试题分析：（1）通过证明△OPC∽△ADP即可求解；

（2）由OP=AP得∠POA=∠PAO，可证∠PDA=∠DAP，故可得△PAD是等腰三角形 ；

（3）分4种情况进行讨论即可求解.

试题解析：（1）∵B（3，4）

∴BC=3，AB=4

∵∠B=90°

∴AC=5 ，

∵OC∥AB，

∴△OPC∽△ADP

∴，即

∴

（2）∵⊙P经过点O

∴OP=AP

∴∠POA=∠PAO，

∵∠PDA+∠POA=∠DAP+∠PAO，

∴∠PDA=∠DAP

∴△PAD是等腰三角形

（3）①分4种情形讨论

ⅰ）交点M是OC中点，PM=PA

则，

ⅱ）交点M是OA中点，PM=PA

∴MG=GA=

∴

ⅲ）交点M是AB中点，PM=PA

∴PG=AM=1

∴PH=2DH=2×=1

∴

ⅳ）交点M是BC中点，PM=PA

则，

②