Question

已知：在一列数a₁、a₂、…、a₂₀₀₈中，任意相邻三个数的和都等于31，a₃=m+n，a₉₈=m-n+2，a₂₀₀₈=3m+n，m、n为实数，且2a₁-3a₃=11．
（1）请说明a₉₈=a₂，a₂₀₀₈=a₁；
（2）求a₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）根据任意相邻三个数的和都相等可得出a_k=a_k+3，将98和2008转化为3a+b的形式，即可得出结论；
（2）根据题意得出a₁、a₂的表示形式，然后联立方程组求出m和n的值，继而可得出a₂₀₀₈的值．

解答：解：（1）∵任意相邻三个数的和都相等，
∴对于任意正整数k，都有a_k+a_k+1+a_k+2=a_k+1+a_k+2+a_k+3．
∴a_k=a_k+3．
∵98=3×32+2，2008=3×669+1，
∴a₉₈=a₂，a₂₀₀₈=a₁，

（2）∵a₉₈=m-n+2，a₂₀₀₈=3m+n，
∴a₂=m-n+2，a₁=3m+n．
∵a₁+a₂+a₃=31，2a₁-3a₃=11，a₃=m+n，
∴

5m+n=29 3m-n=11

，
解得：

m=5 n=4

，
故可得a₂₀₀₈=3m+n=19．

点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出a_k=a_k+3这一规律式，有一定难度．