Question

16．如图，A、B分别是x轴、y轴上的点，A（3，0）、B（0，4）；分别以OB、AB为边作等边△OBD、△ABD．
（1）求C点的坐标；
（2）求直线OC的解析式；
（3）求D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，由等边三角形的性质可求得∠COE=30°，在Rt△COE中可求得OE和CE，可求得C点坐标；
（2）设直线OC为y=kx，结合（1）所求C点的坐标可求得直线OC的解析式；
（3）过D作DF⊥x轴，连接CD，证△ABO≌△DBC可得CD=OA=3、∠BCD=∠BOA=90°，延长BC交DF于点P，则∠DCP=90°，作CG⊥OB于点G，延长GC交DF于点H，根据等边三角形性质可得∠PCH=∠CDH=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCO=30°，解Rt△CDH可得CH、DH的长，最后结合点C坐标即可得．

解答 解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，

∵B（0，4），
∴OB=4，
∵△OBC为等边三角形，
∴OC=OB=4，∠BOC=60°，
∴∠COE=30°，
在Rt△COE中，CE=$\frac{1}{2}$OC=2，OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴C点坐标为（2$\sqrt{3}$，2）；

（2）设直线OC解析式为y=kx，
把C点坐标代入可得2=2$\sqrt{3}$k，k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线OC的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x；

（3）如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，连接CD，

∵OA=3、OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB=5，
∵△OBC和△ABD均为等边三角形，
∴OB=CB=4，AB=DB=5，∠OBC=∠ABD=60°，
∴∠OBA=∠CBD，
在△ABO和△DBC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OB=CB}\\{∠OBA=∠CBD}\\{AB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBC（SAS），
∴CD=OA=3，∠BCD=∠BOA=90°，
延长BC交DF于点P，则∠DCP=90°，
作CG⊥OB于点G，延长GC交DF于点H，
∴∠PHC=90°
∵△OBC为等边三角形，
∴∠PCH=∠CDH=∠BCG=$\frac{1}{2}$∠BCO=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$，DH=CDcos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又∵点C坐标为（2$\sqrt{3}$，2），
∴点D坐标为（$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$，$\frac{4+3\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形等知识点，通过证明全等得出直角三角形及其斜边长度和内角度数是关键．