Question

如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁的弦AC与⊙O₂相切，P是的中点，PA、PB的延长线分别交⊙O₂于点E、F，PB交AC于D．
（1）求证：PC∥AF；
（2）求证：AE•PC=BE•PD；
（3）若A是PE的中点，则⊙O₁与⊙O₂是否是等圆？若不是等圆，请说明理由；若是等圆，请给出证明．

Answer 1

（1）证明：连接AB，PC．
∵AC与⊙O₂相切，∴∠CAB=∠AFB．
∵∠CPB=∠CAB，∴∠AFB=∠CPB．
∴PC∥AF；

（2）证明：连BE，BC，
∵PC∥AF，∴∠CPD=∠AFP．
∵∠AFB=∠AEB，∴∠FPC=∠AEB．
∵∠PDC=∠ACB+∠CBD，∠EAB=∠APD+∠ABP，∠ACB=∠APD，∠CBD=∠ABP，
∴∠PDC=∠EAB．
∴△PCD∽△EBA．
∴PC：PD=EB：EA，
∴AE•PC=BE•PD；

（3）解：AC与⊙O₂相切，∠CAF=∠E，P是的中点，
∴∠PAC=∠PCA．
∵PC∥AF，∴∠PCA=∠CAF．
∴∠PAC=∠E．
∴AC∥EF．
∵A是PE的中点，∴PD=PF．
∴AD=CD．
∴四边形PCFA是平行四边形．
∴AF=PC，PA=AE=AF．
∴∠BFE=90°．∴∠BAE=90°=∠BAP．
∴PB，EB分别是⊙O₁，⊙O₂的直径．
∴PB=BE，⊙O₁与⊙O₂是等圆．
分析：（1）欲证PC∥AF，可以证明∠AFB=∠CPB．
（2）欲证AE•PC=BE•PD，即AE：BE=PD：PC，可以证明∠FPC=∠AEB，∠PDC=∠EAB，从而证明△PCD∽△EBA得出；
（3）⊙O₁与⊙O₂是否是等圆，即直径是否相等．A是PE的中点，可以证明PB，EB分别是⊙O₁，⊙O₂的直径，它们所在的直角三角形中两直角边分别相等，得出PB=BE，⊙O₁与⊙O₂是等圆．
点评：考查了平行线的判断，相似三角形的判定和性质，圆的知识．此题是一个大综合题，难度较大．