Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，BC=4，D是BC中点，将△ABC折叠，使A与D重合．EF为折痕，则DE的长是

5 2

3

．

Answer 1

分析：先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，再根据勾股定理即可求解，进而得出DE的长．

解答：解：过点D作DM⊥AB于点M，
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
∵BC=4，D是BC中点，
∴CD=2，CF=x，则CA=CB=4，
∴DF=FA=4-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF²+CD²=DF²，
即x²+4=（4-x）²，
解得x=

3

2

，
∴sin∠BED=sin∠CDF=

FC

FD

=

3 2

4- 3 2

=

3

5

，
∵∠B=45°，∠DMB=90°，BD=2，
∴DM=BM=

2

，
∴sin∠BED=

DM

DE

=

2

DE

=

3

5

，
解得：DE=

5 2

3

，
故答案为：

5 2

3

．

点评：本题考查了翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角形外角的性质．此题涉及面较广，但难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系．