Question

5．如图，矩形DEFG内接于△ABC，AH⊥BC，DG与AH相交于点K，BC=48，高AH=16．
（1）设AK的长为x，矩形DEFG的周长为C，面积为S，分别求出C=f（x）与S=g（x）的解析式；
（2）内接矩形DEFG的长和宽是否可能都大于10？如果可能，那么请说明如何作出这样的矩形．

Answer 1

分析 （1）证明△ADG∽△ABC，利用相似比可计算出DG=3x，则根据矩形的周长定义可用x表示出C，利用矩形面积公式可用x表示S；
（2）由于由3x＞10且16-x＞10得到$\frac{10}{3}$＜x＜6，则可判断内接矩形DEFG的长和宽可能都大于10，当$\frac{10}{3}$＜x＜6时，在AH上截取AK=x，再过K点作BC的平行线可确定内接矩形的两个顶点，然后过这两个顶点作BC的垂线即可得到内接矩形．

解答 解：（1）AK=x，则KH=DK=16-x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{DG}{BC}$=$\frac{AK}{AH}$，即$\frac{DG}{48}$=$\frac{x}{16}$，DG=3x，
∴C=2（DE+DG）=2（16-x+3x）=4x+32，
S=DG•DE=3x•（16-x）=-3x²+48x；
（2）∵3x＞10且16-x＞10，
∴$\frac{10}{3}$＜x＜6，
∴内接矩形DEFG的长和宽可能都大于10，
当$\frac{10}{3}$＜x＜6时，在AH上截取AK=x，再过K点作BC的平行线分别交AB、AC于D、G两点，然后分别作DE⊥BC于E，GF⊥BC于F，则四边形DEFG为所作．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，只有运用对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质．