Question

如图，已知梯形ABCD中，CD∥AB，M为腰AD上的一点，若AB+CD=BC，MC平分∠DCB．求证：BM⊥MC．

Answer 1

分析：首先延长CM，BA，交与点E，利用平行线的性质以及等腰三角形的性质得出BE=BC，进而得出DC=AE，再证明△AME≌△DMC即可得出ME=MC，即可得出答案．

解答：证明：延长CM，BA，交与点E，
∵MC平分∠DCB
∴∠1=∠2，
∵BA∥CD
∴∠E=∠2，
∴∠E=∠2=∠1，
∴BE=BC
∵AB+CD=BC，
∴DC=AE，
在△AME和△DMC中，

∠DMC=∠AME ∠1=∠E CD=EA

，
∴△AME≌△DMC（AAS），
∴CM=EM，BM是EC中线（等腰三角形三线合一），
∴BM⊥MC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质和等腰三角形的性质等知识，根据已知得出DC=AE是解题关键．