Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC与点E，经过A、D、E三点的即的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴交于另一点G．

（1）求证：BC是⊙F的切线；

（2）试探究线段AG、AD、CD之间的关系，并证明；

（3）若点A（O，﹣1）、D（2，0），求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AG＝AD+2CD；（3）

【解析】

（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；
（2）作FR⊥AD于R，连接DF，得出四边形RCEF是矩形，则EF=RC=RD+CD，∠EFR=90°，得出AR=RD= AD，即可得出结论；
（3）设⊙F的半径为r，则r2=（r-1）2+22，解得，r=，则FA=FG=FE=，由勾股定理得出AD= ，得出AR=，证明△BEF∽△FRA，得出，求出BF，即可得出结果．

（1）证明：连接EF，如图1所示：

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE＝∠CAE，

∵FA＝FE，

∴∠FAE＝∠FEA，

∴∠FEA＝∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切线；

（2）解：AG＝AD+2CD；理由如下：

作FR⊥AD于R，连接DF，如图2所示：

则∠FRC＝90°，又∠FEC＝∠C＝90°，

∴四边形RCEF是矩形，

∴EF＝RC＝RD+CD，∠EFR＝90°，

∵FR⊥AD，

∴AR＝RD＝AD，

∴EF＝RD+CD＝AD+CD，

∵AF＝EF，

∴AF＝AD+CD，

∴AG＝2AF＝AD+2CD；

（3）解：设⊙F的半径为r，

则r2＝（r﹣1）2+22，

解得，r＝，

∴FA＝FG＝FE＝，

∵点A（O，﹣1）、D（2，0），

∴OA＝1，OD＝2，

∴AD＝，

∴AR＝，

∵∠EFR＝90°，

∴∠BFE+∠AFR＝90°，

∵∠BFE+∠EBF＝90°，

∴∠EBF＝∠AFR，

∵∠BEF＝∠FRA＝90°，

∴△BEF∽△FRA，

∴，即，

解得：BF，

∴AB＝AF+BF＝．