Question

2．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验；先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时3秒，这辆校车在AB段是否超速？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．

解答 （1）解：∵∠CAD=30°，∠CBD=60°，CD⊥l，CD=30
∴在Rt△ADC中，AD=$\frac{CD}{tan30°}$=$\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=30$\sqrt{3}$，
在Rt△BDC中，BD=$\frac{CD}{tan60°}$=$\frac{30}{\sqrt{3}}$=10$\sqrt{3}$，
则AB=AD-BD=30$\sqrt{3}$-10$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$≈34.6（米），
答：AB的长约为34.6米，
（2）解：超速，
理由如下：∵汽车从A到B用时3秒，由（1）知，AB≈34.6米
∴速度为  $\frac{34.6}{3}$×3.6≈41.5（千米/小时）＞40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．

点评 此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．