Question

【题目】问题背景

如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．

（1）特殊情景

在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．

（2）类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．

（3）解决问题

如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE的长．

Answer 1

【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE

【解析】

（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAFα可得∠BAE+∠FADα，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.

（1）BE+DF＝EF，

如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，

∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，

∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．

由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．

∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，

∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF＝FG．

又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴BE+DF＝EF，

故答案为：BE+DF＝EF．

（2）成立．

如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，

可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．

∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADH+∠ADC＝180°，

∴点C，D，H在同一直线上．

∵∠BAD＝α，∠EAFα，

∴∠BAE+∠FADα，

∴∠DAH+∠FADα，

∴∠FAH＝∠EAF，

又∵AF＝AF，

∴△AEF≌△AHF（SAS），

∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；

（3）DE，

如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．

可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，

在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，

∴CD=BC=BD=3，

∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，

∴E′B2+BD2＝E′D2．

易证△AE′D≌△AED，

∴DE＝DE′，

∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，

解得．